Question

物理难题

如图所示，竖直放置的光滑半圆形轨道与光滑水平面AB相切于B点，半圆形 轨道的最高点为C．轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端有一质量为0.1kg的小球(小 球与弹簧不相连)．用力将小球向左推，小球将弹簧压缩一定量时用细绳固定住．此时弹簧的弹性势能为4.05J．烧断细绳，弹簧将小球弹出．取g=10m／ ，求

(1)欲使小球能通过最高点C，则半圈形轨道的半径最大为多少?

(2)欲使小球通过最高点C后落到水平面上的水平距离 最大，则半圆形轨道的半径为多大?落点至B点的 最大距离为多少?

Answer 1

1) 当小球达最高点C，据能量守恒：
Ek=mg.2r + 1/2*mVc^2
据圆周运动知识，当在最高点C恰好重力提供向心力，R最大：
mg=mVc^2/r
联解上面两式，得
r=1.62m
2)
当小球达最高点C后,做平抛运动：
S=V*t
H=2R=1/2 * g*t^2

据能量守恒: Ek=mg*2R + 1/2 *m *V^2
联解三式得：
Ek=mg*2R + mgS^2/8R
(数学知识：a+b大于等于 2√(a*b) 当a=b时，取等号)
有：Ek大于等于 2√（mg*2R * mgS^2/8R）
=mgS/2
S小于等于2Ek/mg=0.81m
S最大为：0.81m

当mg*2R = mgS^2/8R， S有最大。
R=S/4=0.205m