Question

数学题，大家帮忙

问题一：
非齐次线性方程组的（秩）与（阶）的关系，方程AX=B 何时（有解）（唯一解）（无穷多解）

问题二：
齐次线性方程组的（秩）与（阶）的关系，方程AX=B 何时（有解）（唯一解）（无穷多解）

问题三：（矩阵的秩）和（解空间的秩），这2个什么意思？

Answer 1

一 方程AX=B有解充要条件是r(A)=r(A,B)
唯一解的充要条件是：r(A)=r(A,B)=n(这是未知数的个数)
无解多解的充要条件是：r（A）=r(A,B)<n
二 齐次方程组必有解（至少有一个零解）
唯一解充要条件是r(A)=n
无穷多解充要条件是r(A)<n
三 矩阵的秩定义就不必说了，可以理解为当把矩阵化为阶梯形矩阵的时候，非零行的行数就是它的秩，如果把它记为r,则AX=0的解空间的秩就是解集的基（即为方程组的基础解系）中所含向量的个数
n-r。解空间只有齐次方程才有。

Answer 2

非齐次线性方程组AX=B有唯一解：r(A)=r(A|B)=n,有无穷多解：r(A)=r(A|B)<n
齐次线性方程组AX=0有唯一解：r(A)=n, 有无穷多解：r(A)<n
矩阵的秩：矩阵的k阶子式不全为0，k+1阶子式全为0，则该矩阵的秩为k+1<=n
解空间的秩：解向量空间矩阵的秩