Question

非齐次线性方程组问题

问题一：
非齐次线性方程组的（秩）与（阶）的关系，方程AX=B 何时（有解）（唯一解）（无穷多解）

问题二：
齐次线性方程组的（秩）与（阶）的关系，方程AX=B 何时（有解）（唯一解）（无穷多解）

问题三：（矩阵的秩）和（解空间的秩），这2个什么意思？

Answer 1

问题一：
非齐次线性方程组Ax=b的解要用增广矩阵的秩来判定：
1、当r(A)<r(A|b)时，方程组AX=b无解。
2、当r(A)=r(A|b)时,方程有解，此时分两种情况：(1).r(A)=r(A|b)=方程个数(即你所说的阶)，此时有唯一解。(2).r(A)=r(A|b)<方程个数，此时有无穷多解。

问题二：
齐次线性方程组Ax=0的解的判定方法：（齐次线性方程恒有解，唯一的区别是解是不是零解，零解就是解全部为零的解，唯一解就是零解）
1、如果A是m*n矩阵，它有非零解的充分必要条件是:r(A)<n。
2、当m<n时(即方程个数<未知数个数)，齐次方程Ax=0有非零解。（注意，这里是充分条件）
3、如果A是n阶矩阵，Ax=0有非零解的充分必要条件是|A|=0，也就是说r(A)<n。

问题三：
1、通俗的说，矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。
2、由于齐次方程组Ax=0恒有解（必有零解），当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次线性方程组的解向量，因此Ax=0的全体解向量构成一个向量空间，成为该方程组的解空间。解空间的维数是n-r(A)。

你提到的解空间的秩，我想应该指的是解空间的维数吧。。

最近在复习线性代数，刚好看到这一题，一个字一个字打上来的。希望你可以采纳哦。。如果有什么问题不懂的可以给我的邮箱xuxu-20@163.com发邮件，大家共同进步哈。。很乐意回答你的问题。

Answer 2

问题一：
非齐次线性方程组AX=B有解的充分必要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等；当有解时，秩（A）=n（n为未知量的个数）时有唯一解；秩（A）<n时有无穷多解。
问题二：
齐次线性方程组AX=0总是有解（因为它的系数矩阵和增广矩阵的秩总是相等的）。当秩（A）=n（n为未知量的个数）时有唯一解；秩（A）<n时有无穷多解。
问题三：
矩阵的秩可以定义为行向量组的极大无关组所包含向量的个数；也可以定义为矩阵的不为零子式的最大阶数；从向量空间的角度可以理解为矩阵的行空间（或列空间）的维数。AX=0的任意两个解向量的和任然是AX=0的解向量，任意解向量的数乘还是AX=0的解向量，根据向量空间的定义，AX=0的所有解向量的集合构成一个向量空间，叫做AX=0的解空间。你所说的解空间的秩准确地说应该是解空间的维数。有一个基本结论：若秩（A）=r，n为未知量的个数，则AX=0的解空间的维数为n-r。