Question

已知:在梯形ABCD中,AD平行BC，角DCB等于90度,E是AD中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP,BD交于点O

1)当P点在BC上运动时，求证三角形BOP相似于三角形DOE
2）设1中的相似比为k，若AD:BC=2:3.请探究：当k为下列3种情况时，四边形ABPK为什么形？①当k为1时，是------。②当k为2时，是-------。③当k为3时，是-------。

Answer 1

1) 证明：当P在BC上运动，又AD平行BC ，则DE平行BP，又得出角ADB等于角DBC 又因为EP与BD相交 则角BOP等于角EOP 所以根据两角相等 边平行的定则 得出三角形DEO与三角形BPO相似

Answer 2

（1）证明：
∵AD∥BC
∴∠OBP=∠ODE（1分）
在△BOP和△DOE中
∠OBP=∠ODE
∠BOP=∠DOE（2分）
∴△BOP∽△DOE；（有两个角对应相等的两三角形相似）（3分）

（2）解：①平行四边形（4分）
②直角梯形（5分）
③等腰梯形（6分）
证明：∵k=2时，
BP：DE=2
∴BP=2DE=AD
又∵AD：BC=2：3，即BC=3/2
AD，
∴PC=BC-BP=2AD-AD=12AD=ED，
又ED∥PC，
∴四边形PCDE是平行四边形，
∵∠DCB=90°
∴四边形PCDE是矩形（7分）
∴∠EPB=90°（8分）
又∵在直角梯形ABCD中
AD∥BC，AB与DC不平行
∴AE∥BP，AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形．（9分） （中间一些分数线省略，请谅解）