Question

高一数学 若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x<0时，f(x)>1;(1)f(x)>0;(2)f(x)为减函

f(x)不等于0

Answer 1

这与 f(x) 为非0函数矛盾。因此 不存在 x0 ，使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
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(2)求证:f(x)为减函数
设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)

x1 - x2 < 0 ，而已知 x<0 时, f(x) > 1。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1，恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
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(3)当f(4)=1/16 时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4

f(4) = 1/16，所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ，舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4

根据 f(a)*f(b) = f(a+b)，则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数，则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ，底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质

Answer 2

（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=1 f(-x) ，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x1和x2，且x1＜x2，则x2=x1+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x2）-f（x1）=f（x1+m）-f（x1）=f（x1）•f（m）-f（x1）=f（x1）（f（m）-1）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），所以f（x）为减函数
（3）由f(4)=1 16 得f（2）=1 4 ，f(x-3)•f(5-x2)≤1 4 ，即f（x-3+5-x2）≤f（2）
由（2）可知x-3+5-x2≥2，即x-x2≥0，所以x∈[0，1]．

Answer 3

我对这题比较感兴趣，但想先问一下非零函数是指f(x)不为0还是x不为0？