Question

一到平面几何问题

凸四边形ABCD中，直线AB、DC交于点E，直线AD、BC交于点F，四边形ABCD内有一点P，使得角APB和角CPD互补
求证：角FPD和角BPE相等

Answer 1

证明: 在PF上取点Q, 使得D,Q,C,P四点共圆.

连接DQ, QC, 延长QC, PB 交于点G,

再延长DQ, AP交于点H, 连接EG, EH.

先证: H,E,G 三点共线

∵ 直线 QCG 截三角形FBP

∴ 由梅涅劳斯定理:

GB

PG ×

CF

BC ×

QP

FQ =1

同理: 由直线DQH截DFAP得:

HP

AH ×

QF

PQ ×

DA

FD =1

由直线DCE截DFAB得:

EA

BE ×

CB

FC ×

DF

AD =1

三式相乘:

GB

PG ×

CF

BC ×

QP

FQ ×

HP

AH ×

QF

PQ ×

DA

FD ×

EA

BE ×

CB

FC ×

DF

AD =1

化简得:

HP

AH ×

GB

PG ×

EA

BE =1 

∴ 由梅涅劳斯逆定理得: H,E,G三点共线

∵D,Q,C, P四点共圆

∴∠HQC=∠DPC=180-∠APB=∠GPH

∴P,Q,H, G 四点共圆

∴ ∠PCD=∠PQD=∠PGE ∴P,C,E, G 四点共圆

∴∠DPF=∠DCQ=∠ECG=∠EPB 证毕.

Answer 2

相对的两边怎么会有交点？一共才两条对角线怎么会有两个交点？用附件里的画图画一张，再点击插入图片就行了