一到平面几何问题
凸四边形ABCD中，直线AB、DC交于点E，直线AD、BC交于点F，四边形ABCD内有一点P，使得角APB和角CPD互补求证：角FPD和角BPE相等...
凸四边形ABCD中，直线AB、DC交于点E，直线AD、BC交于点F，四边形ABCD内有一点P，使得角APB和角CPD互补
求证：角FPD和角BPE相等 展开
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证明: 在PF上取点Q, 使得D,Q,C,P四点共圆.
连接DQ, QC, 延长QC, PB 交于点G,
再延长DQ, AP交于点H, 连接EG, EH.
先证: H,E,G 三点共线
∵ 直线 QCG 截三角形FBP
∴ 由梅涅劳斯定理:
GB
PG ×
CF
BC ×
QP
FQ =1
同理: 由直线DQH截DFAP得:
HP
AH ×
QF
PQ ×
DA
FD =1
由直线DCE截DFAB得:
EA
BE ×
CB
FC ×
DF
AD =1
三式相乘:
GB
PG ×
CF
BC ×
QP
FQ ×
HP
AH ×
QF
PQ ×
DA
FD ×
EA
BE ×
CB
FC ×
DF
AD =1
化简得:
HP
AH ×
GB
PG ×
EA
BE =1
∴ 由梅涅劳斯逆定理得: H,E,G三点共线
∵D,Q,C, P四点共圆
∴∠HQC=∠DPC=180-∠APB=∠GPH
∴P,Q,H, G 四点共圆
∴ ∠PCD=∠PQD=∠PGE ∴P,C,E, G 四点共圆
∴∠DPF=∠DCQ=∠ECG=∠EPB 证毕.
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相对的两边怎么会有交点？一共才两条对角线怎么会有两个交点？用附件里的画图画一张，再点击插入图片就行了
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