Question

已知a,b,c是不完全相等的实数，求证：a^2+b^2+c^2〉ab+bc+ca

Answer 1

为了方便,我在式子中把a的平方记为aa,其它同样.
(aa+bb)+(aa+cc)+(bb+cc)≥2ab+2ac+2bc 当a=b=c时取等号,原题目说了不完全相等,所以,上式中不能取等号.同除2,得
a^2+b^2+c^2〉ab+bc+ca

Answer 2

等式两边都乘以2得左边2a^2+2b^2+2c^2，右边2ab+2bc+2ca再相减得(a-b)²+（a-c）²+（b-c）²，a,b,c是不完全相等的实数所以(a-b)²+（a-c）²+（b-c）²>0,即2a^2+2b^2+2c^2-（2ab+2bc+2ca）>0可得原式成立