Question

数学椭圆问题

已知椭圆C：x2/a2+y2/2=1(a>根号2）的左右焦点分别为F1,F2，点B为椭圆与y轴的正半轴的交点，点P在第一象限内且在椭圆上，且PF2与x轴垂直，向量F1P*向量OP=5。
（1）求椭圆C的方程。
（2）设点B关于直线l:y=-x+m的对称点E（异于点B）在椭圆C上，求m的值。

Answer 1

（1）PF2与x轴垂直，
∴PF2:x=c,其中c=√(a^2-2),
代入椭圆方程，得y=土2/a.
点P在第一象限内且在椭圆上，
∴P(c,2/a),
∴向量F1P*向量OP=2c^2+（2/a)^2
=2a^2-4+4/a^2=5,
∴2a^4-9a^2+4=0,
∴a^2=4,或a^2=1/2(舍）。
∴C:x^2/4+y^2/2=1.
(2)B(2,0).设E(x,y)和B关于l对称，
则BE的斜率y/(x-2)=1,
BE的中点在l上:y/2=-(2+x)/2+m,
解得x=m,y=m-2,
E在椭圆上，∴m^2/4+(m-2)^2/2=1,
3m^2-8m+4=0,m=2或m=2/3.