Question

为什么周期函数的傅立叶变换是冲激函数组成的呢？

周期函数傅立叶级数的频谱幅值是有限值，但是为什么它的傅立叶变换就成了一些冲激函数组成的呢？就是为什么表示频谱密度就是冲激函数了呢？正在学习信号与系统，但是这个问题老想不通。求解释，谢谢！

Answer 1

这么讲看你能不能理解：因为傅里叶变换就是要把一个函数变成由无数个周期函数（指数函数为例）叠加而成的函数，所以变换出的F（w）是在频域下的，表示这无数个周期函数频率的取值范围，那么也就是说一个函数的傅里叶变换后的自变量的取值，就是它变换后的函数的频率所能取的值。
现在，周期函数本身就是个周期函数，所以你变换后得到的傅里叶变换，只能在频域下取一个点（因为只有这一种频率呀~），那么这一个点，就是个冲激函数。它做反变换是常数1，正好符合变换后是函数本身的性质~

如果有什么不明白的可以继续问我~嘿嘿~我学过这门课也有后续的课程，所以理解一些~

Answer 2

周期函数的傅立叶级数：将周期函数分解为成谐波关系的无穷多个复指数信号之和，故其频谱是离散的，只在各谐波频率点才有分量。傅立叶级数的系数表示的是各个分量的大小，是有限值，包含了幅度和相位信息。
一般的非周期信号也可分解为无穷多个复指数信号之和，只不过这些复指数信号的频率不是成谐波关系，而是连续变化的，即频谱是连续的。傅立叶变换表示的并不是这些复指数分量的大小，而是它们的的频谱密度，即在不同频率点处的密度。
周期信号的频谱在各谐波频率点处是有限值，故在该频率点的密度就是一个冲激函数。