Question

已知a＞0，函数f(x)=x+a/x(x＞0)

（1）当a＞4时，用定义域探求该函数的单调区间，指出其在相应区间上的单调性
（2）猜想，当a＞0时，f(x)单调区间

要具体步骤......

Answer 1

解：f(x)=x+a/x
f'(x)=1-a/x^2

1、在a＞4时：
令f'(x)＞0，有：
1-a/x^2＞0
1＞a/x^2
x^2＞a＞4
得：x＞a＞2，或者x＜-a＜-2
令f'(x)＜0，有：
1-a/x^2＜0
1＜a/x^2
x^2＜a
-√a＜x＜√a
即：在a＞4时，f(x)单调增区间是x∈(2,∞)、x∈(-∞,-2)；f(x)单调减区间是x∈(-√a,√a)

2、当a＞0时。
f'(x)=1-a/x^2
令f'(x)＞0，有：
1-a/x^2＞0
1＞a/x^2
x^2＞a＞0
即：x^2＞0
可见，只要x≠0，上述不等式恒成立。
即：在a＞0时，f(x)的增区间是：x∈(0,∞)、x∈(-∞,0)。
此时，f(x)没有减区间。

Answer 2

1)f'(x)=1-a/x^2
所以能用导数来求他的单调性质
2）（0，根号a）单调减区间
（根号a，正无穷）单调增区间