Question

（2012?雅安）已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE?CD；（2）已知CA=5

（2012?雅安）已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE?CD；（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．

Answer 1

（1）证明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直径AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴

CA

CD

＝

CE

CA

，
即CA²=CE?CD；

（2）解：∵CA²=CE?CD，AC=5，EC=3，
∴5²=CD?3，
解得：CD=

25

3

，
又∵CF=FD，
∴CF=

1

2

CD=

1

2

×

25

3

=

25

6

，
∴EF=CF-CE=

25

6

-3=

7

6

，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=

EF

AE

＝

7 6

3

＝

7

18

．

Answer 2

解：因为直径AB垂直CD
所以AB垂直平分CD
所以CF=DF=1/2CD
角AFE=90度
AC=AD
所以角ACD=角ADC
因为AE=CE
所以角ACD=角CAE
所以角CAE=角ADC
因为角ACD=角ACD
所以三角形ACE相似三角形DCA (AA)
所以CA/CE=CD/CA
所以CA^2=CE*CD
(2)解：因为CA^2=CE*CD
CA=5 EA=AE=CE=3
所以CD=25/3
CF=25/6
因为EF=CF-CE=7/6
因为角AFE=90度（已证）
所以三角形AFE是直角三角形
所以sin角EAF=EF/AE=7/6/3=7/18
所以sin角EAF=7/18

Answer 3

（1）因为AB为圆的直径，CD垂直于AB，所以AC=AD，∠ACD=∠ADC，又因为AE=CE，所以∠ACE=∠CAE，所以△ACE相似于△ADE，所以AC/CD=CE/AC，即CA2=CE？CD
（2）由弦CD垂直于直径AB，AE=CE，不难证明，△AEF相似于△EAD，所以∠EAF=∠ADE，∠EAD=∠AFE且是直角，所以sin∠ADE=AE/ED，ED=根号下AE的平方+AD的平方=根号下5的平方+3的平方=根下34，sin∠ADE=3/根下34
我的回答若帮到你，请采纳。

Answer 4

解答如下：

Answer 5