Question

已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y) 若x属于R+时,f（x）＜0,且f（1）=………………

已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y) 若x属于R+时,f（x）＜0,且f（1）=-1/2.试求f（x）在区间【-2，6】上的最大值和最小值

Answer 1

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)，x，y∈R中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y= -x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.

设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵已知当x∈R+时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为减函数.

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)= -1/2，
令x=y=1，得f(2)= -1，又f(x)为奇函数，∴f(-2)=1
再令x=2，y=2，得f(4)= -2，
再令x=4，y=2，得f(6)= -3，

∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-2，6]上为减函数，
∴f(x)在[-2，6]上的最大值为f(-2)= 1，最小值为f(6)= -3.

Answer 2

H