Question

对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为______

对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为______．

Answer 1

∵4a²-2ab+b²-c=0，
∴

c

4

=(a?

b

4

)2+

3

16

b2
由柯西不等式得，
[(a?

b

4

)2+(

3 b

4

)2][22+(2

3

)2]≥[2(a?

b

2

)+

3 b

4

×2

3

]²=|2a+b|²
故当|2a+b|最大时，有

a? b 4

2

＝

3 b 4

2 3

∴a＝

1

2

b，c=b²
∴

1

a

+

2

b

+

4

c

=

2

b

+

2

b

+

4

b2

=4(

1

b

+

1

2

)2?1
当b=-2时，取得最小值为-1．
故答案为：-1