如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．（1）求
如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．（1）求证：BD=DC=DI；（2）若圆O的半径为10cm，...
如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．（1）求证：BD=DC=DI；（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．
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（1）证明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴
=
，
∴BD=DC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI．
∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAD=∠DBC．
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI=∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形，
∴BD=ID，
∴BD=DC=DI．
（2）解：当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外．
连接OB、OD、OC．
∵BD=CD，
∴
=
，
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴△BDC为正三角形．
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
∴BE=
BD，
又∵OB=10，
∴BD=2OBcos30°=2×10×
=10
．
∴CE=BD?sin60°=10
×
=15，
∴S△BDC=
BD?CE=
×10
∴∠BAD=∠DAC，
∴
 |
| BD |
 |
| DC |
∴BD=DC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI．
∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAD=∠DBC．
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI=∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形，
∴BD=ID，
∴BD=DC=DI．
（2）解：当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外．
连接OB、OD、OC．
∵BD=CD，
∴
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| BD |
|
| CD |
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴△BDC为正三角形．
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
∴BE=
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又∵OB=10，
∴BD=2OBcos30°=2×10×
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∴CE=BD?sin60°=10
| 3 |
| ||
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∴S△BDC=
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| 2 |
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