Question

一道高一数学问题

已知函数f（x),g（x）同时满足：g（x-y）=g（x）g（y）+f（x）f（y);f（-1）=-1，f（0）=0，f（1)=1,求g（0），g（1），g（2）的值。
请写出详细过程，并说明为什么这么讨论！我对于这种问题就是搞不清楚？请问有什么好方法没？

Answer 1

解：由g(x-y)=g(x)·g(y)+f(x)·f(y)知,

g(x)=g(x-0)=g(x)·g(0)+f(x)·f(0),又f(0)=0,

故g(x)=g(x)·g(0)→g(0)=1〔g(x)不恒为零,否则g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=0→f(1)=0与f(1)=1矛盾〕.

又g(-x)=g(0-x)=g(0)·g(x)+f(0)·f(x)=g(x)→g(-1)=g(1),

又g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=1→g(1)=0〔f(1)=1〕,则g(-1)=g(1)=0.

g(2)=g〔1-(-1)〕=g(1)·g(-1)+f(1)·f(-1)=-1.

Answer 2

这种题目很特殊，可使用的方法叫，特殊值赋值法。一般来说是根据已知条件凑出所求项，比如g(0)可看成g(1-1),g（1）=g(1-0),g(2)=g(1-(-1)),把0、1、2等简单数字带入已知式子中求得。

楼上是正解