如图．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．P为CD延长线上的一点，PQ是⊙O的切线，切点为Q．连接BQ交CD于
如图．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．P为CD延长线上的一点，PQ是⊙O的切线，切点为Q．连接BQ交CD于点F．（1）求证：PF=PQ；（2）如果AB=4，点E...
如图．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．P为CD延长线上的一点，PQ是⊙O的切线，切点为Q．连接BQ交CD于点F．（1）求证：PF=PQ；（2）如果AB=4，点E为OB的中点，∠B=30°，求PD的长．
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（1）证明：连接OQ，∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OQP=90°，即∠OQB+∠BQP=90°，
∵弦CD⊥AB，
∴∠B+∠EFB=90°，即∠B+∠QFP=90°，
∴∠QFP=∠FQP，
∴PF=PQ；
（2）解：作OM⊥BQ于M，如图，
在直角△EFP中，BF=
| BE |
| cos30° |
| 1 | ||||
|
2
| ||
| 3 |
在直角△OBM中，BM=OB?cos30°=2×
| ||
| 2 |
| 3 |
∴BQ=2
| 3 |
∵∠B+∠EFB=90°，
∴∠EFB=60°，
∴∠QFP=∠FQP=60°，
即△QFP是等边三角形．
∴QP=QF=BQ-BF=2
| 3 |
2
|
