Question

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内（1）只有

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

Answer 1

首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C 5 2 =10种， 再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A 5 5 =120种投放法． ∴共计10×120=1200种方法 （2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A 5 5 种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有   A 5 5 -1=119种．         （3）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C 5 1 ×9=45， 第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法： 5!( 1 2! - 1 3! + 1 4! - 1 5! )=44 ∴满足条件的放法数为： A 5 5 -45-44=31（种）．