Question

已知等差数列a n 中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 3 =45，a 1 +a 4 =14．（1）求数列a n 的

已知等差数列a n 中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 3 =45，a 1 +a 4 =14．（1）求数列a n 的通项公式；（2）设由 b n = S n n+c （c≠0）构成的新数列为b n ，求证：当且仅当 c=- 1 2 时，数列b n 是等差数列；（3）对于（2）中的等差数列b n ，设 c n = 8 ( a n +7)? b n （n∈N * ），数列c n 的前n项和为T n ，现有数列f（n）， f(n)= 2 b n a n -2 - T n （n∈N * ），求证：存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N * 都成立，并求出M的最小值．

Answer 1

（1）∵等差数列a n 中，公差d＞0， ∴ a 2 ? a 3 =45 a 1 + a 4 =14 ? a 2 ? a 3 =45 a 2 + a 3 =14 ? a 2 =5 a 3 =9 ?d=4? a n =4n-3 （4分） （2） S n = n(1+4n-3) 2 =n(2n-1) ， b n = S n n+c = n(2n-1) n+c ，（6分） 由2b 2 =b 1 +b 3 得 12 2+c = 1 1+c + 15 3+c ，化简得2c 2 +c=0，c≠0，∴ c=- 1 2 （8分） 反之，令 c=- 1 2 ，即得b n =2n，显然数列b n 为等差数列， ∴当且仅当 c=- 1 2 时，数列b n 为等差数列．（10分） （3）∵ c n = 8 ( a n +7)? b n = 1 (n+1)n = 1 n - 1 n+1 ∴ T n =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 ++ 1 n - 1 n+1 = n n+1 f(n)= 2 b n a n -2 - T n = 4n 4n-5 - n n+1 =1+ 5 4n-5 -1+ 1 n+1 = 5 4n-5 + 1 n+1 （12分） ∵ f(1)=- 9 2 ，而n≥2时 f(n+1)-f(n)= 5 4n-1 + 1 n+2 - 5 4n-5 - 1 n+1 = -20 (4n-1)(4n-5) - 1 (n+2)(n+1) ＜0 ∴f（n）在n≥2时为单调递减数列，此时f（n） max =f（2）=2（14分） ∴存在不小于2的整数，使f（n）≤2对一切n∈N * 都成立，M min =2（16分）