Question

（2014?眉山）如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴

（2014?眉山）如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，
则A点坐标为（1，0）；
当x=0时，y=3，
则C点坐标为（0，3）；
抛物线的对称轴为直线x=-1，
则B点坐标为（-3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x-1）（x+3）得3=-3a，
解得a=-1，
则此抛物线的解析式为y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；

（2）点A关于直线l的对称点是点B（-3，0）
如图1，连接BC，交对称轴于点P，则此时△PAC周长最小，
设直线BC的关系式为：y=mx+n，
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得

?3m+n＝0 n＝3

，
解得

m＝1 n＝3

，
∴直线bC的关系式为y=x+3，
当x=-1时，y=-1+3=2，
∴P点坐标为（-1，2）；

（3）①当以AB为对角线，如图2，
∵四边形AMBN为平行四边形，
A点横坐标为1，N点横坐标为0，B点横坐标为-3，
∴M点横坐标为-2，
∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3，
∴M点坐标为（-2，3）；

②当以AB为边时，如图3，
∵四边形ABMN为平行四边形，
∴MN=AB=4，即M₁N₁=4，M₂N₂=4，
∴M₁的横坐标为-4，M₂的横坐标为4，
对于y=-x²-2x+3，
当x=-4时，y=-16+8+3=-5；
当x=4时，y=-16-8+3=-21，
∴M点坐标为（-4，-5）或（4，-21）．
综上所述，M点坐标为（-2，3）或（-4，-5）或（4，-21）．