Question

高二数列极限问题

已知数列{an}的极限为A.如果数列{bn}=2/3an(当n≤10^6时)3an(当n＞10^6时),那么数列{bn}的极限是?
下列命题中，正确的是
A.若lim(an*bn)=a≠0，则liman≠0且limbn≠ 0
B.若lim(an*bn)=0，则liman=0或limbn= 0
C.若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn,则limSn=lima1+lima2+...+liman
D.若无穷数列{an}有极限A，则liman=lima(n+1)

说出理由和过程。~~~

Answer 1

A.若lim(an*bn)=a≠0，则liman≠0且limbn≠ 0
答: 对。
定理：积的极限等于极限的积。
反证即可：若有其中之一等于0，积的极限就一定为0，
而事实上积的极限不为0，所以an、bn都不可能为0。

B.若lim(an*bn)=0，则liman=0或limbn= 0
答：对。理由同上。

C.若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn,则
limSn=lima1+lima2+...+liman
答：对。这是和的极限等于极限的和，也是一个定理。

D.若无穷数列{an}有极限A，则liman=lima(n+1)
答：对。
只要an有极限，a(n-2),a(n-1),an,a(n+2), a(n+3)....a(n+m)在有限
个差额内(m是个有限数)的极限都是一样的。