Question

如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x 2 +3x图象的对称轴交于点B．（1）写出点B的坐标______；（2）

如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x 2 +3x图象的对称轴交于点B．（1）写出点B的坐标______；（2）已知点P是二次函数y=-x 2 +3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为______．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x 2 +3x的对称轴为x=- 3 2×(-1) = 3 2 ， ∴当x= 3 2 时，y=-2x=-3，即B点（ 3 2 ，-3）； （2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2， 则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD= 5 a． 以CD为直角边的△PCD与△OCD相似， 当∠CDP=90°时， 若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD= 5 2 a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x 2 +3x， 根据题意得： x 2 +(- x 2 +3x-2a) 2 =( 5 a 2 ) 2 ( 5 a) 2 + ( 5 a 2 ) 2 =(- x 2 +3x) 2 + (x-a) 2 ， 解得： x= 1 2 a= 1 2 ， 则P的坐标是：（ 1 2 ， 5 4 ）， 若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2）， 当∠DCP=90°时， 若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（ 11 4 ， 11 16 ），若DC：PD=OC：OD=1：2，则P（ 13 5 ， 26 25 ）． 故答案为：（2，2），（ 1 2 ， 5 4 ），（ 11 4 ， 11 16 ），（ 13 5 ， 26 25 ）．