Question

如图，已知关于x的二次函数y=-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于

如图，已知关于x的二次函数y=-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD=m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0＝?9+3b+c 3＝c

，
解得

b＝2 c＝3

1分
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有

4＝k+n 0＝3k+n

解得：

k＝?2 n＝6

，
∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PD⊥x轴，OD=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S_三角形PCD=

1

2

×（-2m+6）?m=-m^2<