Question

如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证

如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为π4．①求正方形ABCD的边长；②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，
∵EC⊥底面ABCD
∴BD⊥EC
∴BD⊥平面ACE，
∴平面BDE⊥平面ACE．
（2）①点M为线段BD上的一个动点，
∵EC⊥底面ABCD
∴直线EM与平面ABCD所成角为∠EMC，tan∠EMC＝

EC

CM

．
当CM最小时，直线EM与平面ABCD所成角的最大，
当BD⊥CM时，即M为O点时，直线EM与平面ABCD所成角的最大．
此时CO=1，正方形ABCD的边长为

2

．
②存在，当G为EO中点时，即

EG

EO

=

1

2

时，CG⊥平面BDE．
∴BD⊥平面ACE
∴BD⊥CG，
又∵△ECO为等腰三角形
∴CG⊥EO，
∴CG⊥平面BDE．