Question

大学常微分方程考试题目求解答

Answer 1

答：
y''-2y'-3y=3x+1
齐次方程a²-2a-3=0
所以：(a-3)(a+1)=0
解得：a=-1或者a=3
齐次方程通解为y*=C1e^(-x)+C2e^(3x)
设特解为y=Ax+B
y'=A，y''=0代入得：
0-2A-3Ax-3B=3x+1
解得：A=-1，B=1/3
特解为y=-x+1/3
原方程的通解为：
y=C1e^(-x)+C2e^(3x) -x+1/3

追问

第二问能帮忙解答一下吗？

追答

呵呵，差分方程我忘记了....sorry

追问

还能再问你几道解方程的问题嘛？我发给你先看看好嘛？

追答

采纳后追问，我一定帮忙解答，谢谢。
注意要采纳后再追问一次，否则我无法继续解答

Answer 2

1、先计算齐次方程y''-2y'-3y=0的通解
特征方程r^2-2r-3=0
(r-3)(r+1)=0
r=3或-1
所以y=C1*e^(3x)+C2*e^(-x)是齐次方程的通解
再计算y''-2y'-3y=3x+1的一个特解
显然，y=kx+b是上述方程的特解
0-2k-3kx-3b=3x+1
-3kx-2k-3b=3x+1
k=-1 b=1/3
所以y=-x+1/3是原方程一个特解
综上所述，y=C1*e^(3x)+C2*e^(-x)-x+1/3是原方程的通解，其中C1和C2为任意常数

追问

第二问能帮忙解答一下吗？

追答

待定系数，[y(x+2)+Ay(x+1)+B]=C[y(x+1)+Ay(x)+B]
y(x+2)+(A-C)y(x+1)-ACy(x)=BC-B
因此，A-C=5/6 AC=-1/6 BC-B=3
A=1/2 C=-1/3 B=-9/4
所以y(x+2)+(1/2)*y(x+1)-9/4=-(1/3)*[y(x+1)+(1/2)*y(x)-9/4]
令h(x)=y(x+1)+(1/2)*y(x)-9/4
则h(x+1)=-(1/3)*h(x)
h(x+1)+(1/3)*h(x)=0
特征方程为：r+1/3=0 r=-1/3
所以h(x)=C1*(-1/3)^x 其中C1是任意常数
y(x+1)+(1/2)*y(x)=9/4+C1*(-1/3)^x
特征方程为：r+1/2=0 r=-1/2
齐次方程通解为：y(x)=C2*(-1/2)^x
非齐次方程特解为：y(x)=3/2+C1*(-1/3)^x
所以原差分方程的通解为：y(x)=3/2+C1*(-1/3)^x+C2*(-1/2)^x