Question

问一道高一数学题

设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数。
①求a的值，②证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。

请写出过程。谢谢

Answer 1

①.∵函数f(x)在R上的偶函数
∴f(x)=f(-x)
即 e^x/a+a/e^x=1/(ae^x)+ae^x
所以 a=1/a
解得 a=1 , a=-1 (舍)
故 a=1

②.f(x)=e^x+1/e^x
设 x1>x2>0 则 e^x1>e^x2>1 ∴e^x1·e^x2>1 即 1/(e^x1·e^x2)<1
f(x1)-f(x2)=e^x1+1/e^x1-e^x2-1/e^x2
=e^x1-e^x2+1/e^x1-1/e^x2
=(e^x1-e^x2)[1-1/(e^x1·e^x2)]>0
所以，f(x)在(0,+∞)上是增函数

Answer 2

由f(x)=f(-x)得：a=1或-1，又a>0从而a=1.
证明用f(x+1)>f(x)即可

Answer 3

1.f(-x)=1/ae^x+ae^x=f(x) 对比得a=1或-1舍去
2.
f(x)=e^x+1/e^x
任取x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=e^(x1)+1/e^(x1)-e^(x2)+1/e^(x2)
=(e^(x1)-e^(x2))+(1/e^(x1)-1/e^(x2))
=((e^(x1)-e^(x2))(e^(x1)e^(x2)-1))/(e^(x1)e^(x2))
上式在x>0时各个因子均>0 所以f(x1)-f(x2)>0 所以是增函数

Answer 4

(1) 由于是偶函数 所以f(x)=f(-x)
所以e^x/a+a/e^x=e^-x/a+a/e^-x
通分e^2x/a+a/(a*e^x)=1/(a*e^x)+(a^2*e^x/a*e^x)
将右边左移，由于a>0,e^x>0 所以
a^2x+a-1-a^2x*e^2x=0;
(a^2-1)+e^2x*(1-a^2)=0
(1-a^2)(e^2x-1)=0;令e^2x-1不为0
则 a=-1;a=1 有a>0 所以a=1
(2)f'(x)=e^x-e^x/e^2x=(e^x-1)/e^2x,因为x>0时e^x>1 所以f'(x)>0 f(x)在(0,+∞)上是增函数