Question

如图，已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD，ΔACD为等边三角形，AD=DE=2AB,F为CD的中点

（1）求证：AF‖平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

Answer 1

解:(1)取CE中点P,连结FP、BP
DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD => AB//DE
根据三角形中位线定理，FP//=1/2DE,AB//=1/2DE => AB//=FP => AF//BP
因此AF//平面BCE.

(2)AB⊥平面ACD,DE//AB => DE⊥平面ACD => DE⊥AF
而AF⊥CD,于是AF⊥平面CDE。
于是由BP//AF,有BP⊥平面CDE，因此，平面BCE⊥平面CDE。

【总的说来，证明面面位置关系都是转化为证明线面位置关系，进而转化为证明线线位置关系的思路，也就是把空间位置关系转化为平面位置关系。证明平行经常用到三角形中位线、平行四边形的性质等等；证明垂直经常用到线面垂直的性质定理、三垂线定理及其逆定理等等。】

Answer 2

解:(1)取CE中点P,连结FP、BP
∵DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD
∴AB//DE
∵F为CD的中点,
∴FP//DE,且FP=1/2DE
又∵AB//DE,且AB=1/2DE
∴AB//FP,且AB=FP
∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP
又∵AF平面BCE,BP平面BCE,
∴AF//平面BCE
(2)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD,DE//AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,
∴DE⊥AF。又AF⊥CD,CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE。
又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE

Answer 3

1、取EC中点M，联FM，BM
FM‖=1/2DE AB‖=1/2DE ABMF是平行四边形
BM‖AF，所以AF‖平面BCE

2ACD为等边三角形 AF⊥CD
AB⊥‖DE,
DE⊥ACD AF在ACD,
DE⊥AF AF⊥CD
AF⊥平面CDE。
BM‖AF, BM⊥ CDE BCE⊥ CDE

Answer 4

解：（1）证明：取CE中点P，连接FP、BP，
∵EF∥DE，且FP=1
又AB∥DE，且AB=1，
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE
（2）证明：∵AD=AC，F是CD的中点，AF= 3 ．
所以△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又BP∥AF，
∴BP⊥平面CDE
又∵BP平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE