Question

已知函数f(x)=(4x+3)/(x^2+1)，其定义域为R，求值域。

Answer 1

因为x∈R，则可令x=tana，

所以

（4x+3）/（x^2+1)=(4tana+3)/(tanatana+1)=(4tana+3)*cosacosa

=4sinacosa+3cosacosa

=2sin2a+3/2*(1+cos2a)

=3/2+5/2sin(2a+arctan(3/4))

所以最大值是3/2+5/2=4

最小值为3/2-5/2=-1

所以值域为〔-1，4〕

Answer 2

因为x∈R，则可令x=tana，

所以

（4x+3）/（x^2+1)=(4tana+3)/(tanatana+1)=(4tana+3)*cosacosa

=4sinacosa+3cosacosa

=2sin2a+3/2*(1+cos2a)

所以最大值是3/2+5/2=4

最小值为3/2-5/2=-1

所以值域为〔-1，4〕

Answer 3

令y=(4x+3)/(x2+1)，则yx2-4x+y-3=0
当y不等于0时，x属于R，所以16-4y(y-3)大于等于0.得y属于[-1,4]
当y=0时，-4x-3=0故x=-3/4，故y=0为值域中的一值
综上，值域[-1,4]