Question

一道数学题（高一的第一张的）

函数f（x）=（ax+b）/（1+x²）是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5.
①是确定函数f（x）的解析式；
②用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
③解不等式f（t-1)+f（t）＜0

Answer 1

函数f（x）=（ax+b）/（1+x²）是定义在（-1，1）上的奇函数，f(1/2)=2/5，∴f(-1/2)=-2/5
f(1/2)=（1/2a+b）/（1+1/4）=2/5 ∴1/2a+b=1/2 ①
f(-1/2)=（-1/2a+b）/（1+1/4）=-2/5 ∴-1/2a+b=-1/2 ②
联立①②得：a=1，b=0，f（x）=x/（1+x²）

设有-1＜x1＜x2＜1
f（x1）=x1/（1+x1²），f（x2）=x2/（1+x2²）
f（x2）-f（x1）=x2/（1+x2²）-x1/（1+x1²）
=（x2+x2x1²-x1-x1x2²）/（1+x1²）（1+x2²）
=（x2-x1）（1-x1x2）/（1+x1²）（1+x2²）
∵-1＜x1＜x2＜1
（x2-x1），（1-x1x2），（1+x1²），（1+x2²）都大于0
∴f（x2）-f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）
f（x）在（-1，1）上是增函数

-1＜t-1＜t＜1 ∴0＜t＜1
∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数 ∴f（t-1)=-f（1-t)
f（t）-f（1-t)＜0
已证f（x）在（-1，1）上是增函数 ∴t＜1-t,t＜1/2
∴0＜t＜1/2