Question

证明函数f(x)=x^+2x-1在(-1,+∞)是增函数

Answer 1

x2>x1>-1 f(x2)-f(x1)=(x2)^2-(x1)^2+2(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1+2)

x2>x1>-1 -->x2-x1>0 x2+x1+2>0
-->f(x2)-f(x1)>0 -->在(-1,+∞)是增函数

Answer 2

【解1】f(x)=x^+2x-1
开口向上抛物线
对称轴x=-1
所以：f(x)在(-1,+∞)是增函数

【解2】设任意-1<x1<x2
f(x1)=x1^+2x1-1
f(x2)=x2^+2x2-1

f(x2)-f(x1)
=(x2)^-(x1)^+2(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1+2)

x2-x1>0 x2+x1+2>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
f(x)在(-1,+∞)是增函数

【解3】：求导f'(x)=2x+2
令f'(x)>0
2x+2>0
x>-1
所以：f(x)在(-1,+∞)是增函数