Question

1，已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F.精锐金桥

Answer 1

已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．
（1）求证：AG²=GE•GF
（2）如果DG=1/2GB，且AG⊥BF，求cosF

解答：（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADG，
在△ADG和△CDG中，
AD=CD，∠CDG=∠ADG，DG=DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，
∵BF∥CD，
∴∠F=∠DCG=∠DAG，
∴△GAE∽△GFA，
∴AG²=GE•GF；
(2）∵BF∥CD，DG=1/2GB，
∴CD/BF=DG/BG=1/2，
∴BF=2CD=16，AF=8，
∴∠ABD=∠DAG=∠F，
∴△DAG∽△DBA，
∴AD²=DG•BD，

∵AD=AB=8，DG/BG=1/2，那么DG/BD=1/3
∴DG=8√3/3，BG=16√3/3，
∴cosF=cos∠ABG=AB/BG=√3/2．

Answer 2

已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．
（1）求证：AG²=GE•GF
（2）如果DG=1/2GB，且AG⊥BF，求cosF．