Question

奇偶函数的定积分，这个最后一行的最后一个等式没看懂

Answer 1

1、定积分的结果数值与其被积函数符号的选取无关。
所以定积分∫{a→b}f(x)dx 的值不依赖于积分变量符号的选取，也就是不论把积分变量x改成其他何种字母，如t或u，定积分的值不变。

2、或者解释为： 直线函数f(x) = kx + b 与 另外一个表达式 f(t) = kt + b
这两个表达式所表示的图形在坐标轴上是重合的，只不过横坐标的字母不一样而已。

3、事实上，数学证明确实很严谨，但物理意义却能给人更直观的清晰概念：
偶函数f(x)在对称区间{-a, a}内的积分，由于偶函数曲线左右对称，{-a, a}内的积分当然等于{0, a}或者{-a, 0}内的积分两倍；

奇函数f(x)在对称区间{-a, a}内的定积分，由于定积分结果可以当作面积，且奇函数曲线在半个区间内面积是一正一负，相互抵消，所以{-a, a}内的定积分当然等于0；

上述物理概念可以引申到双重积分。

Answer 2

f(s)关于s在[0，a]上的积分与f(x)关于x在[0，a]上的积分结果是一样的，他们的被积函数是相同的，自变量也是如此，只不过是用了不同的字母表示，实际上还可以用其他任意字母代替，结算出来的结果都是相等的。