Question

设函数fx=lnx-ax^2(a>0)讨论函数fx零点的个数

Answer 1

f(x) = lnx-ax^2(a>0)
定义域x＞0
求导：
f ′(x) = 1/x-2ax= (1-2ax²/x) = {1+√(2a)x}{1-√(2a)x} /x
单调增区间：（0，1/√(2a)）
单调减区间：（1/√(2a)，+∞）
x趋近0时，f(x)趋近-∞；x趋近+∞时，f(x)趋近-∞
极大值f(1/√(2a)) = ln[1/√(2a)]-a*1/(2a) = -1/2ln(2a)-1/2 = -1/2[ln(2a)+1]

当极大值f(1/√(2a))＜0时，没有零点，此时：
0＜2a＜1/e
a＜1/(2e)

当极大值f(1/√(2a))=0时，一个零点此时，此时：
a=1/(2e)

当极大值f(1/√(2a))＞0时，两个零点，此时：

a＞1/(2e)