Question

已知a≥0,m²-2am＋2=0,n²-2an＋2=0，则(m-1)²+(n-1)²最小值是

Answer 1

解由题知m，n是方程x^2-2ax+2=0的根
其Δ≥0，即(-2a)^2-4×2≥0，即a^2≥2,即a≥√2或a≤-√2
又有m+n=2a，mn=2
故
=m^2+n^2-2(m+n)+2
=m^2+n^2-4a+2
=m^2+n^2+2mn-4-4a+2
=(m+n)^2-2-4a
=4a^2-4a-2
=4(a-1/2)^2-3
≥4(√2-1/2)^2-3
=6-4√2
故(m-1)²+(n-1)²的最小值为6-4√2.

Answer 2

因为 m²-2am＋2=0,n²-2an＋2=0，
所以 m、n 是方程 x^2-2ax+2=0 的两个根，
所以 m+n=2a, mn=2，
所以 (m-1)^2+(n-1)^2
=m^2-2m+1+n^2-2n+1
=(m+n)^2-2mn-2(m+n)+2
=4a^2-4-4a+2
=4a^2-4a-2
因为 a>=0
所以 当 a=0 时，(m-1)^2+(n-1)^2=-2
当a>0 时，4a^2-4a-2 有最小值 ，其最小值=[4x4x(-2)-(-4)^2]/(4x4)=-3，
即：(m-1)^2+(n-1)^2 的最小值是-3
所以 当a>=0 时，(m-1)^2+(n-1)^2 的最小值是-3。

Answer 3

已知a≥0,m²-2am＋2=0,n²-2an＋2=0，则
m+n=2a
mn=2
所以(m-1)²+(n-1)²
=m²+n²-2m-2n+2
=(m+n)²-2(m+n)-2mn+2
=(m+n-1)²-3
=(2a-1)²-3
因为（2a）²-4*2=4a²-8≥0
得a≥根号2
(2a-1)²-3≥6-4根号2
最小值是6-4根号2

Answer 4

本题主要是运用韦达定理，属于初中
那么关于x²-2ax+2=0的两根为m、n，且a≥0
因为有两根△=4a²-8≥0，所以a≥√2
(m-1)²+(n-1)²=（m+n-2）²-2（m-1）（n-1）
=(2a-2)²-2（mn-（m+n）+1）
=4（a-1）²-2（1-2a）=4（a-1/2）²+1
即当a=√2，取得最小值，带入即可

Answer 5

m²-2am＋2=0
（m-a）²=a²-2
（m-a）²>=0
最小值
m-a=0
即a²-2=0
n=a=√2
同理
n²-2an＋2=0
（n-a）²=a²-2
（n-a）²>=0
最小值
n-a=0
即a²-2=0
n=a=√2
(m-1)²+(n-1)²最小值=(√2-1)²+(√2-1)²=6-4√2