为正实数,a+b+c=1.求证a^2+b^2+c^2≥1/3

若尘_123
2010-10-06 · TA获得超过386个赞
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证明:由基本不等式:ab<=(a^2+b^2)/2

ac<=(a^2+c^2)/2

bc<=(b^2+c^2)/2

∴2(ab+ac+bc)<=2(a^2+b^2+c^2) ①

对于:a+b+c=1, (a+b+c)²=1

展开,a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1

∴2(ab+ac+bc)=1-[a^2+b^2+c^2] ②

由①② 3(a^2+b^2+c^2)>=1

∴ a^2+b^2+c^2≥1/3
oldpeter111
2010-10-06 · TA获得超过4.2万个赞
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a+b+c=1
(a+b+c)^2=1
(a^2+b^2+c^2)+(2ab+2bc+2ca)=1

而:a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca

所以:
(a^2+b^2+c^2)+((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2))>=1
3(a^2+b^2+c^2)>=1
a^2+b^2+c^2>=1/3
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