Question

如图,二次函数y=4/3x的平方+bx+c的图像与x轴交于A（3,0） ,B（-1,0）,

如图,二次函数y=4/3x的平方+bx+c的图像与x轴交于A（3,0）
,B（-1,0）,与Y轴交于点C,若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动
（1）求该二次函数的解析式及点C坐标
（2）当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在X轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标；若不存在,请说明理由
（3）当P,Q运动到t秒时,三角形APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标

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Answer 1

解：
（1）将A（3，0）、B（-1，0）带入解析式中得到关于b、c的方程组
12＋3b＋c ＝ 0 ；
{
4/3－b＋c ＝0 ；
解得 b= －8/3 ； c＝ －4 ；
函数解析式为 y＝（4/3）x²－（8/3）x－4
当 x＝0时，y=-4，点C的坐标为：（0，－4）；
（2）P、Q运动速度相同，且 |AB|=4，
根据勾股定理 |AC|=√(3²+4²)=5，
所以当P运动到B点时，Q运动到距离A点4个单位长度，即 |AQ|=4
X轴上存在这样的E点，使得以A、E、Q为顶点的三角形是等腰三角形：
①若|AE|＝|AQ|＝4，E点与B点重合，E的坐标为（-1，0）；
②若|AQ|＝|QE|＝4，E点坐标为（-9/5，0）
（3）∵运动速度相同，所以总有|AQ|＝|AP|，而PD、QD是由AP、AQ翻折得到的
∴　AQ＝AP＝PD＝QD，四边形为菱形；
菱形是中心对称图形，所以根据中心坐标（3-4/5 t，-2/5 t）可表示出D点坐标
D（3-8/5 t,-2/5 t）
代入解释式中即可求出D点坐标。