Question

求解一道概率论题目？

Answer 1

分享一种解法。①由(X,Y)的联合发布密度函数求出X、Y的边缘分布密度函数。X的边缘分布密度函数fX(x)=∫(0,1)fXY(x,y)dy=(2xa+b)/(a+b)，0<x<1、fX(x)=0，x为其它。同理，Y的边缘分布密度函数fY(y)=(2yb+a)/(a+b)，0<y<1、fY(y)=0，y为其它。
②求出X、Y的条件分布密度函数。f(x丨y)=f(x,y)/[fY(y)]=2(ax+by)/(2by+a)，0<y<1、f(x丨y)=0，y为其它。同理，f(y丨x)=f(x,y)/[fX(x)]=2(ax+by)/(2ax+b)，0<x<1、f(x丨y)=0，x为其它。
特别的，f(x丨y=1/4)=f(x,y)/[fY(y)]=(2ax+b/2)/(b/2+a)，0<y<1、f(x丨y=1/4)=0，y为其它。同理，f(y丨x=1/2)=f(x,y)/[fX(x)]=(a+2by)/(a+b)，0<x<1、f(y丨x=1/2)=0，x为其它。
③求期望值。E[X丨Y=1/4]=∫(0,1)xf(x丨y=1/4)dx=∫(0,1)x[2(ax+b/4)/(b/2+a)]dx=(8a+3b)/(12a+6b)。
E[Y丨X=1/2]=∫(0,1)yf(y丨x=1/42)dy=∫(0,1)y[(a+2by)/(a+b)]dy=(3a+4b)/(6a+6b)。
供参考。