Question

已知f(x)=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0,1]内有最大值-5,求实数a的值

Answer 1

f(x)=-4x²+4ax-4a-a²
=-4(X^2-AX+A^2/4)+A^2-4A-A^2
=-4(X-A/2)^2-4A
所以F(X)开口向下,且 当X=A/2时候,有最大值,最大值为 -4A
因为区间[0,1]内有最大值-5
所以当 极点 0<=A/2<=1时候 即0<=A<=2 A/2就是最大点 ==>-4A=-5 ==>A=5/4
符合题目意思,所以A=5/4
当A/2>1即 A>2时候,F(X)开口向下 F(X)递减,最大点就是 X=1
即-4+4A-4A-A^2=-5 ==> A^2=1 ==>A =+/-1 与A>2矛盾,不合理舍去
当A/2<0.即A<0时 F(X)开口向下 F(X)递增,最大点就是 X=0
即-4A-A^2=-5 ==>A^2+4A+5=0 ==>(A+5)(A-1)=0 ==>A=-5,或者A=1 因为A必须<0.所以 A=1不合理,舍去,A=-5
综合以上,所以A=-5,或者 A=5/4