Question

设x1与x2分别是实系数二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根，且x1≠0,x2≠0,

求证：方程(a\2)x^2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间。

Answer 1

证明：分别把x1，x2带入方程得：
ax1²+bx1+c=0,
-ax2²+bx2+c=0
即bx1+c=-ax1²
，bx2+c=ax2²
所以f(x1)f(x2)=（(a/2)x1²+bx1+c）·（(a/2)x2²+bx2+c）
=（(a/2)x1²-
a
x1²）·（(a/2)x1²+ax2²）
=（-3a²/4）·（x1
x2）²
因为a≠0，x1，
x2≠0
即（-3a²/4）（x1
x2）²＜0
即f(x1)f(x2)
＜0
函数f(x)在两点x1，
x2有：f(x1)f(x2)＜0
所以得出：f(x1)
＜0且f(x2)＞0
或f(x1)
＞0且f(x2)
＜0
可以得出函数f(x)在x1和x2之间，至少有一点交于X轴。
即可得出Δ=b²-2ac≥0
所以方程(a/2)x²+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间