Question

如图,在等边三角形ABC中，E,D分别为AC,BC上的点，AE=CD,AD交BE于点P,BQ垂直AD于点Q，是证明BP=2PQ

如图,在等边三角形ED分别为AC,BC上的点，AE=CD,AD交BE于点P,BQ垂直AD于点Q，是证明BP=2PQ

Answer 1

∵△ABC是等边三角形
∴∠BAE=∠ACD=60°,AB=AC
∵AE=CD
∴△BAE≌△ACD(SAS)
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=90°-∠BPD=30°
∴BP=2PQ(直角三角形中30°所对的边是斜边的一半)

Answer 2

分析：在Rt△PBQ中，要证BP=2PQ，只要证明∠BPQ=60°即可。
∠BPQ是△BPA的外角，利用∠BPQ=∠PBA+∠BAP这个特殊关系找出∠ABP=∠PAE,即找出△ABE 与△ACD全等，问题即可解决。
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC ∠BAE=∠ACD=60°
又∵AE=CD, ∴△ABC≌△ACD 即∠ABE=∠CAD
又∵∠BPQ是△ABP的外角 ∴∠BPQ=∠PBA+∠BAP=∠CAD+∠DAB=60°
在Rt△PBQ中，∠BPQ=60°，∴∠PAQ=30°，从而BP=2PQ(直角三角形中三十度所对的直角边=斜边的一半)
说明：党与倒三角形全等的证明题时，首先要认清图中有哪些三角形，找出这些三角形的边，角与所要证明的三角形中已具备了两角对应相等的条件，那么要证明出另一边相等或他们的夹角相等，如果所要证明的三角形已具备一角和夹角的一边相等，若找边必须证明出这夹角的另一边对应相等，总之，在证明三角形全等时，不仅要证明出一些对应边或角相等，还需注意这些边与角的位置关系。

Answer 3

与正方体棱长有关的公式

体积=棱长×棱长×棱长

正方形表面积=棱长×棱长×6

棱长之和=棱长×12

参考资料： 《棱长》百度百科