Question

定义在实数集R上的函数Y=F(X)满足下列条件

定义在实数集R上的函数Y=F(X)满足下列条件：（1）F(0)=0 （2）对任意实数X,F(X)+F(1-X)=1,F(X/5)=1/2F(X) （3）当0≤x1<X2≤1时，F（X1）≤F（X2）；
试求：（1）F（1），F（1/2） （2）F（1/4），F（2/3）；
（3）F（1/2008）+F（1/2009）+……+F（1/2050）

F（1），F（1/2）的值我会求，但后面的就不会做了，总觉得这两个数的值应该在为后面铺垫，所以也打上来了。要过程，谢谢

Answer 1

容易得到：f(1)=1，f(1/2)=1/2，f(0)=0（这个你知道~~）
由于0<=x1<x2<=1时，f(x1)<=f(x2)
故，0<=x<=1/2时，0=f(0)<=f(x)<=f(1/2)=1/2（非减函数）
1/2<=x<=1时，1/2<=f(1/2)<=f(x)<=f(1)=1

又f(1/5)=1/2f(1)=1/2
则：1/5<=x0<=1/2时1/2=f(1/5)<=f(x0)<=f(1/2)=1/2即f(x0)=1/2
则对于1/2<=1-x0<=4/5，有f(1-x0)=1-f(x0)=1/2
即，对任意x0在[1/5,4/5]区间内，有f(x0)=1/2

继续，对于任意x1=x0/5在[1/25,4/25],f(x1)=f(x0/5)=1/2f(x0)=1/4
任意x2=x1/5在区间[1/125,4/125],f(x2)=f(x1/5)=1/2f(x1)=1/8
。。。。。以此类推
任意x4=x3/5在区间[1/3125,4/3125],f(x4)=f(x3/5)=1/2f(x3)=1/32

所以：（2）f(1/4)=f(2/3)=1/2
(3)1/2008、1/2009、。。。、1/2050都在区间[1/3125,4/3125]，故
f(1/2008)=f(1/2009)=。。。=f(1/2050)=1/32
则它们的和为：1/32*(2050-2008+1)=43/32

不知道我有没有把过程讲清楚哈~~