Question

已知:如图所示,AD为△ABC的高,E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD. （1）求证：BE⊥AC； （2）若把

已知:如图所示,AD为△ABC的高,E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD. （1）求证：BE⊥AC； （2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？
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Answer 1

解：
（1）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），
∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.
∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∵∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.
∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC（垂直定义）；

（2）命题成立．∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.
∴∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.
∴∠1=∠DAC（同角的余角相等）.
在△BFD与△ACD中，
∴△BFD≌△ACD（AAS）.
∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）.

Answer 2

（1）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），
∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.
∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∵∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.
∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC（垂直定义）；

（2）命题成立．∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.
∴∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.
∴∠1=∠DAC（同角的余角相等）.
在△BFD与△ACD中，
∴△BFD≌△ACD（AAS）.
∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）.

Answer 3

1）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），
∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.
∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∵∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.
∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC（垂直定义）；

（2）命题成立．∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.
∴∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.
∴∠1=∠DAC（同角的余角相等）.
在△BFD与△ACD中，
∴△BFD≌△ACD（AAS）.
∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）.

Answer 4

BE⊥AC．
理由∵BF=AC，DF=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠CAD=∠DBF，
∴∠CAD+∠AFE=∠DBF+∠BFD=90°，
∴BE⊥AC．