Question

求问一道函数求导题

Answer 1

用莱布尼茨公式可以求出结果。

Answer 2

y = xln(1-2x)
y' = ln(1-2x) + (-2)x/(1-2x) = ln(1-2x) + (-2)x(1-2x)^(-1)
y'' = (-2)(1-2x)^(-1) + (-2)(1-2x)^(-1) + (-1)(-2)^2x(1-2x)^(-2)
= 2(-2)(1-2x)^(-1) + (-1)(-2)^2x(1-2x)^(-2)
y''' = (-1)2(-2)^2(1-2x)^(-2) + (-1)(-2)^2x(1-2x)^(-2) + (-1)(-2)(-2)^3x(1-2x)^(-2)
= -3·2^2(1-2x)^(-2) - 2! · 2^3 x(1-2x)^(-3)
y^(4) = -3·2!·2^3(1-2x)^(-3) - 2! · 2^3 (1-2x)^(-3) - 3! · 2^4 x(1-2x)^(-4)
= -4 · 2! · 2^3(1-2x)^(-3) - 3! · 2^4 x(1-2x)^(-4).
.....................................................

y^(n) = -n (n-2)! 2^(n-1) (1-2x)^(1-n) - (n-1)! 2^n x(1-2x)^(-n)
y^(n)(0) = -n (n-2)! 2^(n-1)

Answer 3

利用泰勒公式
ln(1-2x) = -[2x + (2x)^2/2 +(2x)^3/3+....+ (2x)^n/n] +o(x^n)
两边乘以x
xln(1-2x) = -[2x^2 + 4x^2 + (2^4/3)x^3+.....+(2^(n+1)/n)x^(n+1) ] +o(x^(n+1))
y=ln(1-2x)
根据泰勒公式
x^n 的系数 = y^(n)(0)/n! = -2^n/(n-1)
所以得出结果
y^(n)(0) = -2^n. n!/ (n-1)