Question

在1，0交替出现且以1打头和结尾的所有整数中有多少质数？并证明论断。（要详细过程）

Answer 1

101是质数

为便于表示，设X(n)=1010...101，其中0的个数等于n。即X(1)=101，X(2)=10101，等等。
再设Y(n)=111...1，其中1的个数等于n。即Y(1)=1,Y(2)=11,Y(4)=1111，等等

易得X(n)*11=Y(2n+2)

现分奇偶讨论，当n为大于1的奇数时，设n=2k+1,则X(n)*11=Y(2n+2)=Y(4k+4)
此时有1111|Y(4k+4)成立，可设1111m=Y(4k+4),
则1111m=X(n)*11,X(n)=101m,由于n>1时，m>1，因此X(n)为合数。

当n为偶数时，X(n)*11=Y(2n+2),由于Y(n+1)|Y(2n+2),可设Y(n+1)*m=Y(2n+2)
由于n+1是奇数，所以Y(n+1)≡1(mod 11),即11不整除Y(n+1),而11又是Y(2n+2)的因数，所以必有11|m，设m=11p
则有X(n)*11=Y(2n+2)=Y(n+1)*11*p,即X(n)=Y(n+1)*p,X(n)为合数。

综上，只有101是这样的数中的唯一的质数。