Question

关于矩阵的秩的10个结论是什么?

Answer 1

1、两个矩阵A,B，如果满足rank(AB-BA)≤1，那么他们可以同时上三角化，这对应到线性变换就是指A,B有公共特征向量。

2、如果矩阵A不可逆，满足rank(A)=rank(A²)，那么A的属于特征值0的初等因子只能是1次的这个证明不难，就不提示了。

3、以及如果矩阵A，满足rank(A)=r，则有相抵标准型，A=PDQ，其中D=diag{I_r,O}。

4、设A是mxn的矩阵，则r（A）≤min（m，n），若一个矩阵的秩为0，那么这个矩阵一定是0矩阵，反过来亦然。

5、r（A）＝r（A′）＝r（AA′）=r（A′A）。A表示任意矩阵，也就是m行n列，最简单的就是向量。A′表示A的转置。这是一个很好用的结论。这个结论的证明。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。