在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱体积的最大值为多少?
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设圆柱的半径为r,高为h
则圆柱的体积为V＝π(r^2)h
由于圆柱内切半球
所以有r^2+h^2＝R^2
所以V＝π(R^2-h^2)h
＝π(hR^2-h^3)
V'＝π(R^2-3h^2)＝0 （一阶导数为0是函数拐点）
解得h＝±（√3/3）R （舍去负值）
所以h＝（√3/3）R
所以V最大＝π(R^2-（1/3）R^2)（√3/3）R
＝（2√3/9）π(R^3）
则圆柱的体积为V＝π(r^2)h
由于圆柱内切半球
所以有r^2+h^2＝R^2
所以V＝π(R^2-h^2)h
＝π(hR^2-h^3)
V'＝π(R^2-3h^2)＝0 （一阶导数为0是函数拐点）
解得h＝±（√3/3）R （舍去负值）
所以h＝（√3/3）R
所以V最大＝π(R^2-（1/3）R^2)（√3/3）R
＝（2√3/9）π(R^3）
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易金稀有金属制品
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