Question

若函数 y=ax^2-2x+3 的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点,求a的取值

Answer 1

问：若函数 y=ax^2-2x+3 的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点,求a的取值

答：当函数 y=ax^2-2x+3 与直线 x=1 有且只有一个交点时，该交点必须为函数的顶点。因为对于二次函数来说，如果有两个交点，则它的图像必定是一个开口朝上或者开口朝下的抛物线。函数 y=ax^2-2x+3 的顶点坐标可以用公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 求出，其中 b=-2，a是所求的值。当 x=1 时，有 y=a-2+3=a+1，所以交点为 (1, a+1)。要求函数与直线 x=1 有且只有一个交点，即顶点坐标只能为 (1, k)。因此有：-1/(4a)+1=1解得 a = 3/4。所以当 a=3/4 时，函数 y=ax^2-2x+3 的图像在直线 x=1 的右侧与x轴有且只有一个交点。

问：怎么有的答案是这样，但没完全看懂

问：与X轴可能有两个交点啊，只是有一个且只有一个交点必须在X=1的右侧

答：确实，由于二次函数的对称性，函数的图象与X轴可能有两个交点。根据题意，函数的图象在直线X=1的右侧与X轴有且只有一个交点，因此可以得出下列不等式：a > 0 且 Δ = b^2 - 4ac = 0其中，a > 0 表示二次函数的开口朝上；Δ = b^2 - 4ac = 0 表示函数的图象与X轴有且只有一个交点。将函数 y = ax^2 - 2x + 3 化为标准形式，可得：y = a(x - 1)^2 + 2由于函数的图象在直线X=1的右侧与X轴有且只有一个交点，因此该交点必须满足 y = 0，且 x > 1。代入化简后的函数式，可以得出：0 = a(x - 1)^2 + 2a = -2 / (x - 1)^2由于 a > 0，因此 x > 1，代入可得：a < 0.5综上所述，a的取值范围为 a < 0.5。