Question

三次整系数多项式是有理数域上的不可约多项式的充要条件是什么？

Answer 1

三次整系数多项式 f(x) 是有理数域上的不可约多项式的充要条件是：f(x) 在整数环上不可约且在模 p 意义下不可约，其中 p 是任意一个质数。
充分性证明：
如果 f(x) 在整数环上不可约且在模 p 意义下不可约，那么 f(x) 在有理数域上也不可约。因为如果 f(x) 可以分解成两个次数小于三次的整系数多项式 g(x) 和 h(x)，那么在模 p 意义下，f(x) 可以分解成两个次数小于三次的多项式 g(x) 和 h(x)。但这与 f(x) 在模 p 意义下不可约矛盾，因此 f(x) 在有理数域上也不可约。
必要性证明：
如果 f(x) 在有理数域上不可约，那么 f(x) 在整数环上不可约且在模 p 意义下不可约，其中 p 是任意一个质数。因为如果 f(x) 在整数环上可约，则可以分解成两个次数小于三次的整系数多项式 g(x) 和 h(x)，但这与 f(x) 在有理数域上不可约矛盾。同样的，如果 f(x) 在模 p 意义下可约，则可以分解成两个次数小于三次的多项式 g(x) 和 h(x)，但这与 f(x) 在有理数域上不可约矛盾。因此，f(x) 在整数环上不可约且在模 p 意义下不可约。