Question

设数列an的前n项和为Sn 已知a1+2a2+3a3+……+nan=(n-1)Sn+2n

抽去{an}中a1,a4,a7......a(3n-2),......余下的顺序不变组成{bn}，若{bn}前n项和为Tn，求证12/5＜T(n+1）/Tn≤11/3

Answer 1

由a1+2a2+3a3+……+nan=(n-1)Sn+2n可知：
n=1时：a1=(1-1)s1+2，解得：a1=2；
n=2时：a1+2a2=(2-1)s2+4,即2+2a2=(2+a2)+4,解得：a2=4。
由题意，有：
a1+2a2+3a3+……+nan=(n-1)Sn+2n
a1+2a2+3a3+……+nan+(n+1)a(n+1)=[(n+1)-1]S(n+1)+2(n+1)
两式相减，得：(n+1)a(n+1)=nS(n+1)-(n-1)Sn+2
将a(n+1)=S(n+1)-Sn代入上式得：
(n+1)[S(n+1)-Sn]=nS(n+1)-(n-1)Sn+2
化简得：S(n+1)=2Sn+2
则有：S(n+1)+2=2(Sn+2)，由S1+2=a1+2=4≠0知：
数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列
Sn+2=4*2^(n-1),即Sn=4*2^(n-1)-2=2^(n+1)-2
当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=[2^(n+1)-2]-(2^n-2)=2^(n+1)-2^n=2*2^n-2^n=2^n
对于n=1时，a1=2=2^1，此通项公式也成立
故：an=2^n
所以数列{bn}为：2^2,2^3,2^5,2^6,2^8,2^9.....
它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项，公比为8的等比数列
设k为正整数，则：
1、当n=2k-1时：
Tn=[b1+b3+....+b(2k-1)]+[b2+b4+....+b(2k-2)]
=[2^2+2^5+....+2^(3k-1)]+[2^3+2^4+....+2^(3k-3)]
=4*(1-8^k)/(1-8)+8*[1-8^(k-1)]/(1-8)
=5/7*8^k-12/7
T(n+1)=Tn+b(n+1)=5/7*8^k-12/7+2^(3k)=12/7*8^k-12/7
所以：
T(n+1)/Tn=(12/7*8^k-12/7)/(5/7*8^k-12/7)=(12*8^k-12)/(5*8^k-12)
=12/5+84/[5*(5*8^k-12)]
由于：5*8^k-12≥28
所以12/5<T(n+1)/Tn≤3
2、当n=2k时：
Tn=[b1+b3+....+b(2k-1)]+[b2+b4+....+b(2k)]
=[2^2+2^5+....+2^(3k-1)]+[2^3+2^4+....+2^(3k)]
=4*(1-8^k)/(1-8)+8*[1-8^k)]/(1-8)
=12/7*8^k-12/7
T(n+1)=Tn+b(n+1)=5/7*8^k-12/7+2^(3k+2)=40/7*8^k-12/7
所以：
T(n+1)/Tn=(40/7*8^k-12/7)/(12/7*8^k-12/7)=(40*8^k-12)/(12*8^k-12)
=10/3+7/[3*(8^k-1)]
由于：8^k-1≥7
所以10/3<T(n+1)/Tn≤11/3
综上1、2、可知：
12/5<T(n+1)/Tn≤11/3