Question

已知抛物线y=ax^2+2x+c的图像与x轴交于点A(3,0)和点c,与y轴交于点B(0,3) (

1)求抛物线解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点D，使得D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P坐标，不存在，说明理由。

Answer 1

（1）将B(0,3)代入 y=ax²+2x+c 中，得 c=3；
再将 A(3,0) 代入 y=ax²+2x+3 中，得 0=a*3²+2*3+3，∴a=-1；解析式：y=-x²+2x+3；
（2）抛物线对称轴为 x=1，A点是 C点关于 x=1 的对称点，连线 AB 与对称轴 x=1 的交点即为所求 D 点；
直线 AB 的方程为 3y+3x-3*3=0，即 y+x-3=0；其与 x=1 的交点 x=1，y=2，故 D(1,2)；
（3）S△ABP=|AB|*(P到AB的距离)/2，抛物线上与 AB 平行切线切点到 AB 的距离达到最大；
利用斜率法求切点的方法是：令 y'=-2x+2=Kab=-1，则 x=3/2；代入抛物线可求得 y=11/4；
利用求极值法：|AB|=3√2，点 P(x,y) 到 AB的距离 h=|y+x-3|/√2；S=3|y+x-3|/2；
将 y=-x²+2x+3 代入有 S=3|-x²+3x|/2=3|-(x- 3/2)²+9/4|/2；
在 x∈[0,3] 范围内，S 最大值点当 x=3/2 时出现，相应 y=11/4；所以坐标 P(3/2,11/4)；

追问

谢谢